度规概念的初步感悟

前几日拜读中山大学高显教授的新书《经典力学》, 对于「度规」这一概念有了最初步的感悟.

关键是在于高教授将我们既有的一些概念与高等一些的数学工具结合了起来, 用更加简洁易懂的语言引出了新的概念.

勾股定理的推广

我们知道在平直的Euclid空间中, 两点间的距离可以用勾股定理表出: \(\begin{equation} \label{eq1} \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2, \end{equation}\) 或者用极坐标: \(\begin{equation} \label{eq2} \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\varphi^2. \end{equation}\)

于是在其它空间中, 只要取无穷小的距离, 使得空间近似平坦线性, 那么勾股定理就仍然成立. 例如在球面上: \(\begin{equation} \label{eq3} \mathrm{d}s^2=R^2\mathrm{d}\theta^2+R^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2. \end{equation}\)

将勾股定理写成二次型形式

虽然勾股定理在不同空间和坐标系下都成立, 但它们的形式似乎不太统一(如$\eqref{eq1}$, $\eqref{eq2}$和$\eqref{eq3}$). 但它们每项都是平方项. 这促使我们想到线性代数中所学过的二次型. 于是我们尝试将上述三个勾股定理写成二次型矩阵的形式: \(\begin{align} \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}x&\mathrm{d}y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}x\\\mathrm{d}y\end{pmatrix},\\[12pt] \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho&\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\rho^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho\\\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix},\\[12pt] \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\theta&\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}R^2&0\\0&R^2\sin^2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\theta\\\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}. \end{align}\) 一眼丁真 鉴定为: \(\begin{equation} \mathrm{d}s^2\equiv\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}^\mathrm{T}\,G\,\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}. \end{equation}\) 形式统一, 这下就好办了. 我们可以写一个普遍形式: \(\begin{equation} \mathrm{d}s^2=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho^1&\cdots&\mathrm{d}\rho^s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots&g_{1s}\\\vdots&\ddots&\vdots\\g_{s1}&\cdots&g_{ss}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho^1\\\vdots\\\mathrm{d}q^s\end{pmatrix}. \end{equation}\) 于是我们就把矩阵$g_{ab}$定义为度规(metric). 那么上面三个例子以及其它空间/坐目标度规就一目了然啦:P.

所以总结来说, 度规就是勾股定理在无穷小距离上的推广.