度規概念的初步感悟

前幾日拜讀中山大學高顯教授的新書《經典力學》，對於「度規」這一概念有了最初步的感悟。

關鍵在於高教授將我們既有的一些概念與較高等的數學工具結合了起來，用更加簡潔易懂的語言引出了新的概念。

勾股定理的推廣

我們知道在平直的 Euclid 空間中，兩點間的距離可以用勾股定理表示： \(\begin{equation} \label{eq1} \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2, \end{equation}\) 或者用极坐标: \(\begin{equation} \label{eq2} \mathrm{d}s^2=\mathrm{d}\rho^2+\rho^2\mathrm{d}\varphi^2. \end{equation}\)

於是在其它空間中，只要取無窮小的距離，使得空間近似平坦線性，那麼勾股定理就仍然成立。例如在球面上： \(\begin{equation} \label{eq3} \mathrm{d}s^2=R^2\mathrm{d}\theta^2+R^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2. \end{equation}\)

将勾股定理写成二次型形式

雖然勾股定理在不同空間和座標系下都成立，但它們的形式似乎不太統一（如 $\eqref{eq1}$、$\eqref{eq2}$ 和 $\eqref{eq3}$）。然而它們每項都是平方項。這促使我們想到線性代數中所學過的二次型。於是我們嘗試將上述三個勾股定理寫成二次型矩陣的形式： \(\begin{align} \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}x&\mathrm{d}y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}x\\\mathrm{d}y\end{pmatrix},\\[12pt] \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho&\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\rho^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho\\\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix},\\[12pt] \mathrm{d}s^2&=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\theta&\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}R^2&0\\0&R^2\sin^2\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\theta\\\mathrm{d}\varphi\end{pmatrix}. \end{align}\) 一眼就能看出： \(\begin{equation} \mathrm{d}s^2\equiv\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}^\mathrm{T}\,G\,\mathrm{d}\boldsymbol{\rho}. \end{equation}\) 形式統一，這下就好辦了。我們可以寫一個普遍形式： \(\begin{equation} \mathrm{d}s^2=\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho^1&\cdots&\mathrm{d}\rho^s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}g_{11}&\cdots&g_{1s}\\\vdots&\ddots&\vdots\\g_{s1}&\cdots&g_{ss}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathrm{d}\rho^1\\\vdots\\\mathrm{d}q^s\end{pmatrix}. \end{equation}\) 於是我們就把矩陣 $g_{ab}$ 定義為度規 (metric)。那麼上面三個例子以及其他空間／座標的度規就一目了然了 :P。

所以總結來說，度規就是勾股定理在無窮小距離上的推廣。